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第１章　有限整域の理論

定義 1.1

整域とは，零環ではない可換環のうち，$ab=0$ を満たす任意の元 $a,b$ について $a=0$ か $b=0$ が成立するものをいう．
たとえば，体はすべて整域である．
これを示すために，体の 2 元 $a,b$ で $ab=0$ を満たすものをとる．$a=0$ か $b=0$ であることを示そう．$a\neq 0$ であると仮定して $b=0$ であることを示せばよい．この仮定の下で $a$ には逆元 $a^{-1}$ が存在するので，$b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=0$ が成立する．
また，有理整数環 $\mathbb{Z}$ は，体でない整域の例である．整域の重要な例は，函数論にも自然に現れる．
たとえば，複素平面 $\mathbb{C}$ 上の正則函数全体のなす環 $\mathscr{O}(\mathbb{C})$ は整域である．
（$f, g\in\mathscr{O}(\mathbb{C})$ に対してその和 $f+g$ と積 $fg$ は，それぞれ $(f+g)(z)=f(z)+g(z), (fg)(z)=f(z)g(z)$ で定義している．これらは正則函数なので $\mathscr{O}(\mathbb{C})$ 上の演算を定め，可換環の公理を満たす．）
これを証明するため，$\mathscr{O}(\mathbb{C})$ の 2 元 $f, g$ で $fg=0$ を満たすものをとる．$f\neq 0$ を仮定して $g=0$ を示そう．$f(z_0)\neq 0$ となる $z_0\in\mathbb{C}$ を固定すると，$z_0$ の開近傍 $U$ を $\forall z\in U, f(z)\neq 0$ が成立するようにとれる．
（たとえば，$f(z_0)$ を中心とする半径 $\frac{f(z_0)}{2}$ の開球 $V\subset\mathbb{C}$ をとれば，$f$ の連続性により $U=f^{-1}(V)$ が条件を満たす．）
このとき，仮定により $\forall z\in U, g(z)=0$ だから，一致の定理により $g=0$ である．
本章の目的は，有限整域，すなわち整域のうち台集合が有限集合であるものの研究である．

定理 1.2

有限整域は体である．
証明：有限整域 $A$ について，$A$ が体であることを示す． $A$ の 0 でない任意の元 $a$ をとる．$a$ の逆元が存在することを証明したい． そのためには，写像 $f\colon A \to A; x \mapsto ax$ が全射であることを示せばよい．
なぜなら，これが全射であれば $f(b)=1$ を満たす $b\in A$ がとれるが，この $b$ が $a$ の逆元となっているからである．
（$f$ の定め方から $ab=1$ であるが，A は整域であり，従って可換環だから $ba=1$ でもある．）
ところが，$A$ は整域だから $f$ は単射である．
これを示すために，2 元 $b, c\in A$ で $f(b)=f(c)$ が満たされるものをとる．すると，$ab=ac$ すなわち $a(b-c)=0$ が成立する．$A$ が整域で $a\neq 0$ であることから，$b-c=0$，従って $b=c$ が成立する．これで $f$ の単射性が示された．
また，$A$ は有限集合だから $f$ は全射でもある．（証明終）
なお，有限体の理論の研究は読者に任せる．